深入浅出泰勒中值定理

前言

泰勒中值定理是微积分学中一个非常重要的理论，也被广泛地应用于各个领域。为了更好地掌握该定理，本文将介绍泰勒中值定理的定义、证明和具体应用。

什么是泰勒中值定理

泰勒中值定理是微积分学中的一个基本定理，它说明一段函数在某个点的导数等于这段函数在该点处的切线斜率。泰勒中值定理分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理两种形式，下面我们重点来介绍拉格朗日中值定理。设函数f(x)在区间[a,b]上具有n阶导数，则对于[a,b]内任意一点x0,存在一个介于a和b之间的点c，使得：f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)/1! f''(c)(b-a)^2/2! … f^n(c)(b-a)^n/n!其中，f'(c)、f''(c)……f^n(c)分别是f(x)在点c处的n阶导数。

泰勒中值定理的证明

为了方便证明，下面只讨论泰勒中值定理的初步形式，即n=1的情况。对于首先找出截距，即取b=a h，其中h>0，于是有f(a h)=f(a) f'(a)h因此，当x∈[a，a h]时，有f(x)−f(a)=f'(a)(x−a) R1其中，R1是余项，那么此时余项可以写作R1=[f(a h)−f(a)−f'(a)h]/(a h−a)=R(h−0)/(h−0)其中，取c∈[a，a h]，则f(a h)−f(a)=f'(c)h将上式代入R1，得到R1=[f'(c)h−f'(a)h]/h=f''(ξ)(a h−a)/2其中ξ∈[a,c]。